אנליזה מתמטית

אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות. רציפות של פונקציה, גזירותה, אינטגרביליות והתכנסות של טור איברים - כל אלה הן הפעולות המרכזיות בהן עוסקת האנליזה. כדי להגדיר פעולות אלו במדויק יש צורך להשתמש במושג הגבול - והוא הרעיון המרכזי שמפריד בין האנליזה ליתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים.

האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות, ובפרט, פונקציות רציפות. פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" - פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים. הגדרה מדויקת של רציפות מחייבת שימוש במושג הגבול. משפטים מרכזיים בתחום זה הם משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט הרציפות במידה שווה.

בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות - אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות - כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים. לשם כך מוגדר מושג הנגזרת.

סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה. בדרך זו מתקבל סכום מדויק יותר מסכומים שמתבססים על דגימת הפונקציה בנקודות נפרדות, מכיוון שהאינטגרל מביא בחשבון את ערכי הפונקציה בכל אחת מנקודותיה.

האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים - סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל). בהקשר של טורי פונקציות עולה מושג ההתכנסות במידה שווה, שהוא סוג ההתכנסות של טורי הפונקציות ששומר על תכונות הפונקציות שהן אברי הטורים. מקרה פרטי מיוחד בחקר טורי הפונקציות הוא טורי החזקות, שלהתכנסותן מספר תכונות מיוחדות; רבות מהפונקציות המוכרות לנו ניתנות להבעה באמצעות טורים אלו, שקל יחסית לחשבם.

רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות - אלה חלקי האנליזה הקלאסיים.