אקסיומת הבחירה

  • אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, משפט הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים, אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).

    בשפה לא פורמלית, אקסיומת הבחירה קובעת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחד מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להשתמש באקסיומת הבחירה.

    לאחר שמעמדה של אקסיומת המקבילים יושב בראשית המאה ה-19, אקסיומת הבחירה שהוצעה בסוף אותה מאה עוררה מחקר, עניין ואף מחלוקות בהיקף שאף אקסיומה אחרת לא התקרבה אליו. תפקידה במסגרת תורת הקבוצות, שאותו חזה דויד הילברט כשהקדיש לה (ולהשערת הרצף) את הבעיה הראשונה שלו, הוביל להתפתחות עמוקה של יסודות המתמטיקה לאורך כל המאה ה-20. בתחילת דרכה היו הדעות באשר לה חלוקות. האינטואיציוניסטים דחו אותה, אבל כמותם היו גם רבים אחרים. עם זאת, הגרסאות השימושיות של אקסיומת הבחירה, ובראשן משפט הסדר הטוב והלמה של צורן, הביאו את מרבית המתמטיקאים לקבל אותה. מעמדה התחזק כשקורט גדל הוכיח (1938) שהוספת אקסיומת הבחירה אינה פוגעת בעקביות של אקסיומות צרמלו-פרנקל. עם זאת נותרו כיסי התנגדות. למשל המתמטיקאי ואן דר ורדן, שכתב את הספר המשפיע " אלגברה מודרנית", כלל אותה במהדורה הראשונה (1930), השמיט אותה מן המהדורה השנייה (1937) בהשפעתם של עמיתיו לאסכולה הגרמנית, וחזר וכלל אותה במהדורה השלישית (1950), בלחצם של עמיתיו חוקרי האלגברה (דרושה הלמה של צורן כדי להוכיח שלכל שדה יש סגור אלגברי, או שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי). רק כשפול כהן הוכיח ב-1963 ששלילתה של אקסיומת הבחירה, גם היא אינה פוגעת בעקביות של מערכת צרמלו-פרנקל, בשלה ההכרה באקסיומה זו כאובייקט למחקר עצמאי. רוב המתמטיקאים המודרניים מניחים את אקסיומת הבחירה, וחוקרי תורת הקבוצות ויסודות המתמטיקה מתעמקים בגרסאות חלשות שלה ובהשלכותיהן.

  • אקסיומת הבחירה
  • תורת הקבוצות ללא אקסיומת הבחירה
  • שימושי אקסיומת הבחירה
  • לקריאה נוספת
  • קישורים חיצוניים

אקסיומת הבחירה היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית, שנוסחה לראשונה על ידי ארנסט צרמלו. בניגוד לכל שאר האקסיומות האחרות במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (למעט אולי אקסיומת האינסוף), אקסיומה זו אינה נחשבת 'מובנת מאליה', וניתן לפתח את תורת הקבוצות במידה רבה גם בלעדיה. לאקסיומה יש כמה מסקנות שימושיות ביותר (ובראשן הלמה של צורן, משפט הסדר הטוב ועקרון המקסימום של האוסדורף), ולכן היא מקובלת כמעט על כל המתמטיקאים, אך בה במידה יש לה מסקנות העשויות להראות מופרכות (כגון פרדוקס בנך-טרסקי).

בשפה לא פורמלית, אקסיומת הבחירה קובעת שבהינתן אוסף של קבוצות לא ריקות, ניתן לבחור איבר אחד מכל קבוצה. הפילוסוף והמתמטיקאי ברטרנד ראסל הדגים זאת בדוגמה הבאה: אם נתונה סדרה של זוגות נעליים, אפשר לבחור נעל אחת מכל זוג גם ללא אקסיומת הבחירה, לפי הכלל "בחר את הנעל השמאלית בכל זוג". לעומת זאת, כדי לבחור גרב אחד מכל זוג גרביים (שבהם אין הבחנה בין ימין לשמאל), יש להשתמש באקסיומת הבחירה.

לאחר שמעמדה של אקסיומת המקבילים יושב בראשית המאה ה-19, אקסיומת הבחירה שהוצעה בסוף אותה מאה עוררה מחקר, עניין ואף מחלוקות בהיקף שאף אקסיומה אחרת לא התקרבה אליו. תפקידה במסגרת תורת הקבוצות, שאותו חזה דויד הילברט כשהקדיש לה (ולהשערת הרצף) את הבעיה הראשונה שלו, הוביל להתפתחות עמוקה של יסודות המתמטיקה לאורך כל המאה ה-20. בתחילת דרכה היו הדעות באשר לה חלוקות. האינטואיציוניסטים דחו אותה, אבל כמותם היו גם רבים אחרים. עם זאת, הגרסאות השימושיות של אקסיומת הבחירה, ובראשן משפט הסדר הטוב והלמה של צורן, הביאו את מרבית המתמטיקאים לקבל אותה. מעמדה התחזק כשקורט גדל הוכיח (1938) שהוספת אקסיומת הבחירה אינה פוגעת בעקביות של אקסיומות צרמלו-פרנקל. עם זאת נותרו כיסי התנגדות. למשל המתמטיקאי ואן דר ורדן, שכתב את הספר המשפיע " אלגברה מודרנית", כלל אותה במהדורה הראשונה (1930), השמיט אותה מן המהדורה השנייה (1937) בהשפעתם של עמיתיו לאסכולה הגרמנית, וחזר וכלל אותה במהדורה השלישית (1950), בלחצם של עמיתיו חוקרי האלגברה (דרושה הלמה של צורן כדי להוכיח שלכל שדה יש סגור אלגברי, או שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי). רק כשפול כהן הוכיח ב-1963 ששלילתה של אקסיומת הבחירה, גם היא אינה פוגעת בעקביות של מערכת צרמלו-פרנקל, בשלה ההכרה באקסיומה זו כאובייקט למחקר עצמאי. רוב המתמטיקאים המודרניים מניחים את אקסיומת הבחירה, וחוקרי תורת הקבוצות ויסודות המתמטיקה מתעמקים בגרסאות חלשות שלה ובהשלכותיהן.