כפל

  • nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

    בערך זה
    נעשה שימוש
    בסימנים מוסכמים
    מתחום המתמטיקה.
    להבהרת הסימנים
    ראו סימון מתמטי.

    כֶּפֶל הוא פעולה בין מספרים, ובאופן כללי יותר פעולה בינארית על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים.

    3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.

    כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום , ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: , ו- .

    את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים ו- הוא השבר . במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש- כי: .

    השטח של מלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.

    המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3xy2) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.

    במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונואיד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.

  • סימון ומונחים
  • הסימון לכפל גורמים רבים
  • תכונות של פעולת הכפל
  • לוח הכפל
  • כופל ונכפל
  • ראו גם
  • קישורים חיצוניים

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

כֶּפֶל הוא פעולה בין מספרים, ובאופן כללי יותר פעולה בינארית על מבנים אלגבריים כלליים. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים.

3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.

כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 4 כפול 3 הוא הסכום , ובאופן כללי "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים או הסכום של a קבוצות שגודל כל אחת מהן הוא b. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: , ו- .

את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים ו- הוא השבר . במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש- כי: .

השטח של מלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב או כמכפלת הרוחב שלו באורך - בשתי הדרכים נקבל אותה תוצאה. באותו אופן אפשר להגדיר גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.

המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3xy2) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.

במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונואיד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.