מכפלה קרטזית

  • nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

    בערך זה
    נעשה שימוש
    בסימנים מוסכמים
    מתחום המתמטיקה.
    להבהרת הסימנים
    ראו סימון מתמטי.

    מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִיתאנגלית: cartesian product; סימון: ) היא פעולה על קבוצות שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים. המכפלה נקראת קרטזית לכבוד רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רנאטוס קרטזיוס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים - ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

    במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות, a ו-b, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת a×b (קרי a כפול b) והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-a והאיבר השני שייך ל-b.

    [1]

    לדוגמה: אם קבוצה x מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { a, k, q, j, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } וקבוצה y מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים { (♣ ,a, ♠), (k, ♠), ..., (2, ♠), (a, ♥), ..., (3, ♣), (2) }.

    באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

    בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:

    . כאן היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

    אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם היא קבוצה של אינדקסים ולכל הקבוצה לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית לא ריקה.

  • דוגמאות
  • ראו גם
  • קישורים חיצוניים
  • הערות שוליים

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִיתאנגלית: Cartesian product; סימון: ) היא פעולה על קבוצות שיוצרת מהן קבוצות חדשות שבהן יש חשיבות לסדר האיברים. המכפלה נקראת קרטזית לכבוד רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רנאטוס קרטזיוס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים - ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.

במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות, A ו-B, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת A×B (קרי A כפול B) והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-A והאיבר השני שייך ל-B.

[1]

לדוגמה: אם קבוצה X מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } וקבוצה Y מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים { (♣ ,A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2) }.

באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:

בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:

. כאן היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.

אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם היא קבוצה של אינדקסים ולכל הקבוצה לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית לא ריקה.