שדה המספרים המרוכבים

  • במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה כאשר a,b הם ממשיים, ו- היא היחידה המרוכבת, המקיימת . המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.

    שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות , מכיל את שדה המספרים הממשיים - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, איזומורפי לחוג המנה .

    שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה יש בדיוק שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.

  • היסטוריה
  • בנייה פורמלית
  • תכונות בסיסיות
  • הצגה קוטבית והמישור המרוכב
  • ראו גם

במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה כאשר a,b הם ממשיים, ו- היא היחידה המרוכבת, המקיימת . המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.

שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות , מכיל את שדה המספרים הממשיים - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, איזומורפי לחוג המנה .

שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה יש בדיוק שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.