אקסיומת המקבילים | המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים

המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים

אם סכום שתי זוויות פנימיות הוא 180° אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו

אוקלידס לא ציין את המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים, הקובע כי:

אם שני ישרים ייחתכו על ידי ישר שלישי, באופן שסכום הזוויות הפנימיות שייווצרו באחד הצדדים שווה לסכום שתי זוויות ישרות, אזי הישרים מקבילים ולעולם לא ייפגשו.

ב"יסודות" מופיע משפט השקול למשפט זה (ספר I, משפט 17): סכום שתי זוויות במשולש קטן משתי זוויות ישרות. ההוכחה מתבססת על משפט קודם, הקובע: במשולש, זווית חיצונית גדולה מאחת מהזוויות הפנימיות שאינה צמודה לה. ההוכחה של משפט זה מבוססת על הנחה סמויה של אוקלידס ששני ישרים נפגשים בנקודה אחת בלבד.

במילים אחרות, המשפט המשלים לאקסיומת המקבילים נובע מארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס, בתוספת אקסיומה הקובעת ששני ישרים שאינם מקבילים נפגשים בנקודה אחת בלבד.