אקסיומת המקבילים | תכונות שקולות

תכונות שקולות

בגאומטריה האוקלידית ידועות תכונות רבות השקולות לאקסיומת המקבילים. אם מניחים את ארבע ההנחות הראשונות, אז כל אחת מתכונות אלה נובעת מאקסיומת המקבילים, וגם גוררת אותה.

בין התכונות השקולות לאקסיומת המקבילים, יש כאלה שבמבט ראשון נראה כי אין להן שום קשר לתכונות של ישרים מקבילים. חלקן נחשבו כל-כך מובנות מאליהן, עד שהתפרסמו הוכחות של אקסיומת המקבילים, שהיו מבוססות בלי משים על תכונות כאלה, אף על פי שכולן כאחת אינן נובעות מארבע ההנחות הראשונות בגאומטריה האוקלידית. להלן כמה דוגמאות:

  1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
  2. קיים משולש שסכום זוויותיו הוא 180°.
  3. סכום הזוויות זהה בכל המשולשים.
  4. קיים זוג משולשים דומים שאינם משולשים חופפים (Wallis, 1693).
  5. כל משולש ניתן לחסום במעגל (בוליי, 1851).
  6. אם במרובע שלוש זוויות הן זוויות ישרות, אז גם הזווית הרביעית היא זווית ישרה.
  7. קיים מרובע בו כל הזוויות הן זוויות ישרות.
  8. קיים זוג ישרים שנמצאים במרחק קבוע זה מזה.
  9. שני ישרים המקבילים לישר שלישי, מקבילים זה לזה.
  10. בהינתן שני ישרים מקבילים, ישר החותך את אחד מהם בהכרח חותך גם את השני.
  11. במשולש ישר-זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שתי הצלעות הנותרות (משפט פיתגורס).
  12. אין חסם עליון לשטח של משולש[4] (גאוס, 1799).

למעשה, גם הניסוח המקובל של האקסיומה כיום הוא תכונה השקולה לניסוח הראשוני של אוקלידס. הניסוח המקובל הופיע לראשונה בפירושו של הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקלוס לכתביו של אוקלידס. פרוקלוס, בן המאה החמישית, ניסה אף הוא להוכיח את האקסיומה על בסיס האקסיומות האחרות, וכשל בכך.