אקסיומת המקבילים | פיתוח גאומטריות לא אוקלידיות

פיתוח גאומטריות לא אוקלידיות

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – גאומטריה לא אוקלידית

המאמצים להוכחת האקסיומה עלו בתוהו, עד שבראשית המאה התשע-עשרה הבינו בויאי, לובצ'בסקי וגאוס שנדרש כיוון שונה. כתוצאה מכך פותחו גאומטריות לא אוקלידיות, שבהן אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: בגאומטריה ההיפרבולית - דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה, ובגאומטריה פרויקטיבית אין ישרים מקבילים כלל. באורח פלא התברר כעבור שנים לא רבות שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה: כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה הלא-אוקלידית המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית בסיס לתורת היחסות הכללית.