אריתמטיקה | פעולות אריתמטיות
English: Arithmetic

פעולות אריתמטיות

לוח החיבור מספק הגדרה פשטנית לפעולת החיבור
אף שלוח הכפל המלא מ-1 עד 10 מכיל 100 מכפלות, ניתן לשנן את כולו על ידי 36 מכפלות בלבד. בתמונה זו ניתן לראות את 36 המכפלות הללו בלוח הכפל, כאשר שאר הכפולות הוצאו מן הלוח.
Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ארבע פעולות החשבון

האריתמטיקה היסודית עוסקת במספר פעולות יסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק; פעולת הכפל החוזר, הקרויה העלאה בחזקה; הפעולות ההפוכות לחזקה - הוצאת שורש ולוגריתם.

ארבע הפעולות הראשונות נקראות ארבע פעולות החשבון:

  • פעולת החיבור קשורה להוספת מספר עצמים למספר אחר של עצמים. את החיבור של a ו- b מסמנים ב- , קרי: "a ועוד b" או "a פלוס b". שני המספרים a ו-b נקראים "מחוברים", ותוצאת החיבור היא ה"סכום" שלהם.
  • פעולת החיסור מתקבלת מגריעה של מספר עצמים ממספר אחר, או הפרדה של קבוצה לשתיים. החיסור של b מ- a מסומן , קרי: "a פחות b" או "a מינוס b". האיבר השמאלי מכונה "מחוסר" והימני "מחסר". תוצאתה של פעולת החיסור נקראת "הפרש".
  • בפעולת הכפל אפשר לראות תהליך של חיבור חוזר: חיבור מספר נתון של כמויות שוות זו לזו. הכפל של a ב- b מסומן או , קרי: "a כפול b" או "a פעמים b". בפעולת הכפל כל איבר נקרא "כופל", והתוצאה נקראת "מכפלה".
  • פעולת החילוק הפוכה לכפל; היא עונה על השאלה: "כמה עצמים יהיו בכל חלק של קבוצה נתונה, אם יחלקו אותה למספר נתון של חלקים שווים". החילוק של a ב- b מסומן a/b, או a:b, או גם , קרי: a חלקי b. האיבר a הוא "מחולק" (או "מונה") והאיבר b הוא "מחלק" או ("מכנה"). תוצאתה של פעולת החילוק נקראת "מנה".

חוקי חשבון

חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב. הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה, ב-625 לספירה לערך.

חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים. באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא שדה.

להלן פירוט הכללים האריתמטים היסודיים.

חוק הקיבוץ או חוק הצירוף (אסוציאטיביות)

חוק הפועל על פעולות החיבור והכפל. סכומם או מכפלתם של כמות מספרים מסוימת בסדר קבוע, יכולים להופיע בסדר שונה וניתן לקבץ אותן בסוגריים מבלי שתוצאתם תשתנה, משום שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן. ניתן לבטא זו בצורה מתמטית, כאשר a,b,c הם גורמים הערוכים בסדר מסוים:

  • ולכן ניתן לכתוב פשוט .
  • ולכן ניתן לכתוב פשוט .

חוק החילוף (קומוטטיביות)

כאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני. כלומר, מתקיים:

  • .
  • .

לעומת זאת, פעולות החיסור והחילוק אינן קומוטטיביות. כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן ישנה חשיבות לסדר האופרנדים. קל לראות זאת על ידי דוגמה:

  • , אבל . אין זה מקרי שקיבלנו מספרים ששונים בסימנם - זוהי תכונה כללית.
  • , אבל. גם כאן, אין זה מקרי שקיבלנו שני מספרים כך שהאחד שווה ל-1 חלקי השני.

חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות)

החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל. הוא קובע שלכל שלושה מספרים מתקיים:
.

קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים

לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים איברי יחידה תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם. המספר 0 הוא איבר היחידה של חיבור - תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: . בצורה דומה 1 הוא איבר היחידה של כפל: . לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.

בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה. המספר הנגדי למספר ביחס לחיבור מסומן והוא מקיים: . האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם מספר הופכי ומסמנים אותו והוא שווה ל- . ההופכי מקיים: .

חזקות

במספרים שלמים, פעולת החזקה אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון . כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל- "a בריבוע" ל- "a בשלישית", ל- "a ברביעית", וכדומה. a נקרא "בסיס החזקה" ו- b ה"מעריך".

שורש היא פעולה הפוכה לחזקה; עונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן . קרי: שורש מסדר a של b.

לוגריתם היא פעולה נוספת ההפוכה לפעולת החזקה. פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב .

חוקי חזקות

מן הגדרה שהבאנו לעיל, ניתן להסיק את חוקי החזקות:

  • מכפלה של שתי חזקות בעלות אותו בסיס שווה לחזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה הוא סכום המעריכים של שתי החזקות המוכפלות, כלומר:
  • חזקה של חזקה בעלת בסיס נתון, תהיה שווה לחזקה של אותו הבסיס שהמעריך שלה הוא מכפלת המעריכים של שתי החזקות הקודמות, כלומר:
  • חזקה של מכפלת שני בסיסים, שווה למכפלת החזקות בעלות אותו המעריך של שני הבסיסים, כלומר:
  • כדי שחוק המכפלה של חזקות ישמר, יש להגדיר לכל a שונה מאפס כי ו-.