אריתמטיקה | אריתמטיקה מודרנית
English: Arithmetic

אריתמטיקה מודרנית

במתמטיקה המודרנית, המונח "אריתמטיקה" משמש, בהכללה, לתחום העוסק בקיום פתרונות למשוואות, או מערכות של משוואות, מעל השדות של תורת המספרים, ובמיוחד שדות מקומיים וגלובליים. תחום זה, הנקרא לפעמים גם אריתמטיקה גאומטרית, עוסק למשל בקיום פתרונות למשוואות כמו (כאשר n הוא מספר טבעי), כאשר המשתנים x,y,z צריכים להיות מספרים רציונליים.

אחת השאלות המרכזיות בתחום קשורה בהיקף התחולה של עקרון הסה, הקובע שבמקרים מסוימים, קיומו של פתרון למשוואה מעל כל השלמה של השדה K, מבטיח שקיים פתרון גם בשדה K עצמו. עקרון הסה חל על תבניות ריבועיות, אבל הוא נכשל, לדוגמה, עבור עקומים אליפטיים. פירושו של דבר הוא שלמשוואה מהצורה (עם מקדמים רציונליים) יכולים להיות פתרונות מעל הממשיים ומעל כל שדה של מספרים p-אדיים, בשעה שאין לה פתרונות מעל הרציונליים. את המידה שבה נכשל עקרון הסה ניתן לכמת באמצעות חבורה הנקראת חבורת שפרביץ', שאותה מגדירים בכלים קוהומולוגיים. משערים שחבורה זו סופית, אך לעת עתה לא נמצאה לכך הוכחה.

האריתמטיקה נושקת גם לתורת השדות, בה מביאות שאלות אריתמטיות למחקר ענֵף של תכונות של שדות. כך למשל נחקרים " שדות Cn", שבהם מובטח פתרון למשוואות הומוגניות מסוימות, ו שדות פסאודו-סגורים אלגברית, המחקים היבטים מסוימים של השדות הסגורים אלגברית.