אריתמטיקה | הקשרים פילוסופיים
English: Arithmetic

הקשרים פילוסופיים

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף פילוסופי העוסק בשאלות הנוגעות למדע המתמטיקה בפרט. מתוקף היות האריתמטיקה ענף מרכזי מאוד במתמטיקה, עולות סביבה שאלות פילוסופיות רבות אשר נוגעות ליסודות מהן "בנויה" המתמטיקה. כמו כן, שאלות רבות הנוגעות לפילוסופיה של האריתמטיקה, נושקות אף לתחומים אחרים, כגון תורת המספרים.

התפתחויות אריתמטיות רבות, הושפעו בתקופתן מהפילוסופיות והדתות אשר מהן הושפעו המתמטיקאים. כך, למשל, פילוסופיות קוסמולוגיות של דת הג'ייניזם ההודית הובילו לעיסוק מורחב של המתמטיקאים ההודים במספרים גדולים ולפיתוחים נלווים.

היחס הפילוסופי אל האריתמטיקה בכללותה הכתיב לא אחת את אופן ההתפתחות שלה במקומות ובזמנים שונים. היוונים הקדומים, למשל, התייחסו אל האריתמטיקה כאל תחום מדעי-מחקרי בנוסף להיותו כלי שימושי ולפיכך ניסו לבססו על מערכת של אקסיומות ומשפטים הנובעים מהם ותרמו לפיתוח וארגון הידע האריתמטי בתקופתם. הרומים, לעומתם, התייחסו אל האריתמטיקה כאל כלי טכני-יישומי ולפיכך לא התעמקו בחקרה ולא אמצו חלק מן הידע של קודמיהם היוונים.

דוגמה נוספת להשפעה פילוסופית על התפתחות המתמטיקה היא סוגית ההתפתחות של המספר והמכלול הרעיוני שמאחורי האפס. במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים. זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר".

קיומם של מספרים, הוא נושא לתהיות פילוסופיות רבות. האם, ובאיזה מובן, קיימים המספרים? האם המספרים הם ישויות מוחלטות או פרי מערכת אקסיומות "סתמית"? האם ישנו הבדל בין משמעות קיומם של מספרים טבעיים לרציונליים, אי-רציונליים, טרנסצנדנטיים או אף מרוכבים? בהקשר זה ידועים דבריו של המתמטיקאי לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם".

אף סביב הפעולות האריתמטיות עולות שאלות פילוסופיות רבות. למשל: האם הפעולות האריתמטיות המוכרות לנו הן מוחלטות, או תלויות במערכת הגדרות ואקסיומות "סתמיות"? האם ייתכנו מערכות אריתמטיות שבסיסן שונה באופן מהותי מן האריתמטיקה המוכרת לנו? ניתן לייצג שאלה זו באופן ציורי יותר: אם נפגוש חיזרים תבוניים, האם הבסיס האריתמטי עליו נשענת המתמטיקה שלהם יהיה זהה במהותו?