הפרכה | במתמטיקה

במתמטיקה

במתמטיקה כמו גם בלוגיקה, הפרכה של טענה אינה אלא הוכחה כי שלילתה של טענה זו נכונה.

לעיתים כדי להפריך טענה, די בהבאת דוגמה נגדית. כך, למשל לשם הפרכת הטענה "כל המספרים הראשוניים הם אי-זוגיים" די להביא את המספר 2 כדוגמה למספר ראשוני זוגי.

הפרכתן של טענות אחרות דורשת הוכחה מורכבת יותר. למשל הפרכת הטענה "המספרים הראשוניים הם קבוצה סופית" נעשית באמצעות יציאה מנקודת ההנחה שהטענה אכן נכונה, ובניית שרשרת שיקולים המובילה לידי סתירה. סתירה זו מוכיחה כי ההנחה כי קבוצת המספרים הראשוניים היא "מופרכת", כלומר אינה נכונה.

הפרכה משמשת ל"הוכחה בדרך השלילה". הטענה בדבר קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים מוכחת באמצעות הפרכה של שלילתה.

אימרה לקטוש, פילוסוף של המתמטיקה במאה ה-20, קבע בספרו "הוכחות והפרכות" (Proofs and Refutations : The Logic of Mathematical Discovery), ששם ספרו מבוסס על שם ספרו של קרל פופר "השערות והפרכות", כי להפרכה תפקיד חשוב בבניית הידע המתמטי המצטבר, וכי בתהליך ההוכחה של אמיתותה של טענה מתמטית כלשהי, מסייעות ההפרכות לחדד את ההגדרות של המושגים עליהם מתבססת הטענה, ולדייק בניסוח הטענה והוכחתה.