לוגיקה | תולדות הלוגיקה
English: Logic

תולדות הלוגיקה

מראשיתה ועד תקופת אפלטון

ראשיתה של הלוגיקה במחקר הפילוסופי אודות תכונותיהם של טיעונים. מחקר זה התפתח במיוחד ביוון העתיקה, ובעיקר במסגרת האסכולה האלאטית. פרמנידס ותלמידו זנון התמחו בניסוחם של טיעונים פרדוקסליים, המראים כי ישנן סתירות במושגים באמצעותם אנו מבינים את המציאות, במיוחד בכל הנוגע למושגים רצף ואינסוף. את הסתירות הללו ניתן לחשוף באמצעות הצגת הקשרים בין המושגים השונים שלנו בצורה של טיעון, שעל אף שאנו נוטים לקבל את הנחותיו, מסקנתו בלתי נסבלת (למשל, שאין שינוי בעולם, שאין בו תנועה וכולי). הסיבה לכך שסתירות אלו עולות, היא שהבנתנו הראשונית את המושגים הנוגעים לעולם החושים אינה מתוחכמת מספיק; בעקבות הסתירות, אנו נאלצים לחשוב מחדש על האופן בו עלינו להבין אותם.

אפלטון יכול להחשב כממשיך דרכם של האלאטים. אפלטון אמנם לא הציג תורה לוגית סדורה, אולם בדיאלוגים שכתב הוא חקר מספר מושגים לוגיים יסודיים, למשל את ההבחנה בין טיעונים שבמבנה שלהם קיימת סתירה פנימית, לבין טיעונים שהתוכן שלהם עקבי, כלומר שאין בו סתירות פנימיות. לשם כך ביקש אפלטון להבהיר את מושג ההגדרה (יוונית: Horismos), שכן ללא הגדרות חדות של המושגים אודותם נסובים טיעונינו, קשה להבחין מתי אנו סותרים את עצמנו. בדיאלוג האפלטוני הטיפוסי, סוקרטס בוחן נושא מסוים (למשל, מהו אומץ או מהי ידידות) ושואל את שאר המשתתפים בדיאלוג שאלות כדי לבדוק עד כמה הם עקביים בדיעותיהם על נושא זה. לעיתים ניתן לחלץ מן הדיאלוג מערכת של משפטים, המרכיבים יחדיו טיעון, ולנתח את הדיאלוג כחקירה המכוונת לבדוק האם כל המשפטים עקביים עם עצמם ועם המשפטים האחרים בהם מאמינים המשתתפים בדיאלוג. למתודה זו של בירור לוגי קרא אפלטון דיאלקטיקה.

עיקרון לוגי יסודי שאפלטון זיהה לראשונה הוא חוק הסתירה, על פיו אין דבר יכול לשאת תכונות מנוגדות זו לזו:

"ברור שאותו הדבר עצמו לא יעשה או יסבול בעת ובעונה אחת דבר והיפוכו, על כל פנים לא מאותה בחינה עצמה ולגבי אותו העניין עצמו; ולפיכך, אם נמצא שכך יארע בהללו, נדע שאינם אותו הדבר עצמו, אלא מרובים" (פוליטיאה, 436ב).

לוגיקה אריסטוטלית

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – הלוגיקה של אריסטו

גישתו של אריסטו ללוגיקה הייתה שיטתית יותר מזו של אפלטון, והוא הפך אותה לתורה סדורה המאפשרת להבחין בין טיעונים מבוססים לטיעונים שאינם מבוססים על סמך זיהויה של הצורה הלוגית של הטיעונים. טיעון הוא תקף כאשר ההנחות מספיקות לשם תמיכה במסקנה, כך שלא ייתכן שההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית. ההכרח הלוגי של הטיעונים התקפים נובע מכך שלטענות ישנו מבנה פנימי, למשל, שבכל טענה ישנו נושא ונשוא, ושכל טענה היא כללית או פרטנית, וישנו מספר מוגבל של צורות שבהן ניתן לקשר טענות זו לזו (למשל, טיעונים שבהם שתי ההנחות פרטניות, והמסקנה כללית, או כאלו שבהם אחת ההנחות כללית, השנייה פרטית, והמסקנה כללית, וכולי). מבין הצורות האפשריות של טיעונים בני שתי הנחות ומסקנה אחת, גילה אריסטו את הצורות של הטיעון התקף או המופתי, המוביל תמיד מהנחה אמיתית למסקנה אמיתית. אריסטו טען שבאמצעות צורות אלו משמשת הלוגיקה ככלי עבור המדע וכאמצעי להתקדמות הידע. קיים היום ויכוח האם, לפי אריסטו, הלוגיקה היא חלק ממשי מהפילוסופיה (כמו, למשל, האתיקה) או רק כלי עבודה (אורגנון) של הפילוסופים.

מושגי היסוד בלוגיקה האריסטוטלית הם: מונח, טענה, טיעון, נביעה או היסק, וכלל המרה. כמו כן ניתן להחיל בקלות על הלוגיקה האריסטוטלית את המונחים המודרניים של תקפות נאותות, וכלל היסק. תפקיד הלוגיקה הוא להבחין בטיעונים בעלי צורות תקפות, כלומר כאלו שבהם מהנחות אמיתיות נובעת מסקנה אמיתית. טיעונים שאינם עומדים בקריטריונים האלו, אינם טיעונים תקפים. ישנם כללי המרה המאפשרים להראות כי טענות שונות בצורתן הן למעשה שקולות זו לזו (ר' להלן) וכך להרחיב את מספר צורות הטיעון התקפות.

להלן נבחן תחילה את הרעיון שלטיעון יש צורה לוגית, לאחר מכן נדון בעקרונות היסוד של הלוגיקה אצל אריסטו, ולבסוף נדון במגבלותיה של הלוגיקה האריסטוטלית.

צורתו הלוגית של הטיעון

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – סילוגיזם

טיעון הוא קבוצה של משפטים (או קבוצה של טענות) שחלקם הנחות ואחד מהם הוא המסקנה, והקבוצה נחשבת טיעון כאשר המעבר בין ההנחות למסקנה הוא תקף, כלומר כאשר המסקנה נובעת בהכרח מן ההנחות. מהי נביעה הכרחית? כאשר ניתן לומר שאין מצב עניינים שבו ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית, כלומר כאשר אין דוגמה נגדית. באמצעות הניתוח של מבנן הבסיסי של טענות, אריסטו זיהה כי לטיעונים בעלי שתי הנחות ומסקנה ישנו מספר סופי של צורות, וחלק מהן הן כאלו שמשמרות את האמת של ההנחות וכך מבססות את אמיתותה של המסקנה. לטיעונים כאלו קרא אריסטו סילוגיזם.

נוכל להבין את הרעיון של הצורה הלוגית של טיעון תקף אם נחשוב על ההבדל בין תקפות ואמיתות. לדוגמה: נתונות שתי הנחות:

  1. כל היוונים הם בני אדם.
  2. כל בני האדם הם בני תמותה.

מסקנה: כל היוונים הם בני תמותה.

התקפות של טיעון זה כמעט ברורה מאליה. ברור גם שאם שתי ההנחות אמיתיות, גם המסקנה, בהכרח, אמיתית. אין באפשרותנו להעלות על דעתנו מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה אינה אמיתית. אבל מה אם אחת ההנחות שקרית? או אז הטיעון עודנו תקף, אף שבמקרה כזה ייתכן שהמסקנה שקרית. אריסטו סבור כי הטיעון תקף בזכות צורתו, ללא קשר לשאלה האם חלק מהטענות שקריות מבחינת התוכן שלהן. ההבחנה בין טיעון תקף שבו ההנחות אמיתיות לטיעון תקף שבו ההנחות אינן אמיתיות היא ההבחנה בין נאותות (soundness) לאי-נאותות של הטיעון, אבל היא אינה משפיעה על תקפות הטיעון עצמה. צורתו הכללית של הטיעון הזה היא כזו:

  1. כל א הוא ב
  2. כל ב הוא ג

מסקנה: כל א הוא ג

יש לשים לב לכמה פרטים חשובים בנוגע לניתוח הצורני של מבנה הטיעון, על פי אריסטו. ראשית, ישנם בטיעון שלושה מונחים כוללים אשר כל טענה מקשרת בין שניים מהם. בטיעון תקף ישנו מונח מסוים (ב') אשר מופיע בהנחה הראשונה ומופיע שנית בהנחה השנייה, והוא המתווך בין שני המונחים (א' ו-ג'), אשר מופיעים כל אחד בהנחה אחת בלבד. במסקנה, המונח המתווך (ב') אינו מופיע כלל, ומה שהמסקנה מלמדת אותנו זה על הקשר שבין השניים האחרים (א' וג'). אריסטו הוא שהמציא את מתודת ההפשטה המאפשרת להציג מונחים באמצעות אותיות, וזהו צעד חשוב בדרך להמצאתו של המשתנה. כמו כן, יש לשים לב לכך שמלבד המונחים, המיוצגים באמצעות אותיות, מופיעים בגרסה הצורנית של הסילוגיזם קבועים לוגים, דהיינו מילים כגון "כל", "הוא" (האוגד), וכן מילים נוספות שעוד לא פגשנו בטיעון שלעיל, כגון "חלק מ" והשלילה באמצעות "אינו". כאשר אנו מצרינים את הטיעון אנו נפטרים אך ורק מן השמות של המונחים, ואילו הצורה הלוגית של הטיעון, המיוצגת באמצעות הקבועים הלוגיים, נשארת חשופה לעינינו.

מתפיסה זו של הצורה התקפה של הטיעון יוצא שאם בטיעון מסוים ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית אזי הטיעון אינו תקף. למשל בטיעון-לכאורה, שדומה לקודם:

  1. כל בני האדם הם בני תמותה.
  2. כל היוונים הם בני תמותה.

מסקנה-לכאורה: כל היוונים הם בני אדם.

נניח ששתי ההנחות אמיתיות. עדיין ייתכן שהמסקנה אינה נכונה, למשל אם אנו מוכנים להחשיב את סוסיהם של היוונים כיוונים. מכאן שבטיעון-לכאורה שבחנו ישנה בעיה - אין יחס של נביעה בין ההנחות והמסקנה. צורת הטיעון בה אנו מתבוננים איננה תקפה, וכל טיעון בעל אותה צורה יהיה טיעון בלתי תקף:

  1. כל א הוא ב.
  2. כל ג הוא ב.

מסקנה-לכאורה: כל ג הוא א.

כל טיעון בעל צורה כזו אינו תקף, והוא יכונה כשל לוגי.

עד עכשיו בחנו טיעונים שבהם כל הטענות הן טענות כלליות. אולם ישנם גם טיעונים תקפים המקשרים טענות פרטניות, כלומר כאלו שבחלק מהטענות המקושרות בהם הקבוע הלוגי אינו "כל" אלא "חלק מ". למשל:

  1. כל הפירות צומחים על עצים.
  2. חלק מהפירות הם הדרים.

מסקנה: חלק מהצומחים על העצים הם הדרים.

והנה צורת הטיעון:

  1. כל א הוא ב
  2. חלק מ-א הם ג

מסקנה: חלק מ-ב הם ג

ֿאריסטו הבחין גם בשלילה כאחד מן הקבועים הלוגים, וכך הבחין בין צורתן של טענות חיוביות ושל טענות שוללות. באמצעות כך הוא זיהה צורות נוספות של טיעונים תקפים, למשל:

  1. כל הנמרים הם יונקים.
  2. אף דג אינו יונק.

מסקנה: אף דג אינו נמר.

והנה צורת הטיעון:

  1. כל א הוא ב.
  2. אף ג אינו ב.

מסקנה: אף ג אינו א.

לאחר שבחן את מגוון הצירופים האפשריים של טענות (כלומר צירופים שבהם סדר המונחים זהה, או צירופים שבהם השילוב בין טענות כוללות ופרטניות, או בין טענות שוללות וחיוביות, דומה), הצליח אריסטו לצמצם את מספר הטיעונים התקפים היסודיים לארבעה, על ידי שימוש בשלושה כללי המרה שבאמצעותם ניתן להמיר טענות מסוג אחד בטענות מסוג אחר. אלו הם שלושת כללי ההמרה:

  1. מ"אין א שהוא ב" הסק: "אין ב שהוא א"
  2. מ"כל ב הוא א" הסק: "חלק מ-א הוא ב"
  3. מ"חלק מ-ב הוא א" הסק: "חלק מ-א הוא ב"

הערה נוספת: הניתוח של אריסטו מתייחס לטענות שבהן מקושרים שני מונחים כוללים, שמות של קבוצות. למעשה, הלוגיקה האריסטוטלית מועילה במיוחד לדון ביחסים בין מינים וסוגים (אריסטו החשיב את המחקר הטקסונומי בביולוגיה כצורה המופתית של המדע, ואת הסילוגיזם ככלי העבודה העיקרי של המדען). אולם הניתוח האריסטוטלי מאפשר להתייחס גם לשמות פרטיים כאילו היו מונחים כוללים, וכך להציג את הטיעון התקף הבא:

  1. כל בני האדם הם בני תמותה
  2. סוקרטס הוא אדם

מסקנה: סוקרטס הוא בן תמותה

עקרונות היסוד הלוגיים אצל אריסטו

ניתן לזהות שני עקרונות לוגיים יסודיים המדריכים את אריסטו:

1) חוק אי-הסתירה - לחוק זה היבט אונטולוגי, היבט לוגי, והיבט פסיכולוגי. מן ההיבט האונטולוגי, דבר לא יכול, באותו זמן, מקום ונסיבות, לשאת תכונה מסוימת ולא לשאת את אותה תכונה בעת ובעונה אחת; מן ההיבט הלוגי או הסמנטי, טענה אינה יכולה להיות גם אמיתית וגם שקרית, ומן ההיבט הפסיכולוגי, לא ניתן לחשוב מחשבה ואת המחשבה המנוגדת לה בעת ובעונה אחת. העיקרון מופיע בספר המטפיזיקה של אריסטו כך (ע' בקר 1005b):

"לא אפשרי לאותה תכונה להשתייך ולא להשתייך לאותו דבר בו זמנית ובאותו יחס... אף אחד אינו יכול להניח כי אותו דבר הוא ואינו... ואם לא אפשרי לתכונות סותרות להשתייך בו זמנית לאותו עצם... ואם דעה הסותרת דעה אחרת מנוגדת לה, ברור כי אין זה אפשרי... להניח שדבר מסוים הוא ואינו בו זמנית וביחס לאותו עצם... ומכאן שכל אדם המדגים דבר כלשהו, מתייחס לעקרון זה כהנחה הראשונית, משום שזוהי מטבע הדברים נקודת המוצא לכל שאר האקסיומות"

2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית. מכאן, שהלוגיקה בוחנת טענות אך ורק אם יש להן אחת משני ערכי אמת: אמת ושקר. טענות שאינן כאלו אינן מעניינה של הלוגיקה; ובאשר לטענות שהלוגיקה כן עוסקת בהן, אין אופציה נוספת. לא תיתכן טענה שאינה אמת ואינה שקר, ולכן ביטוי כגון "או שדני אוהב ללכת לבית הספר או שדני לא אוהב ללכת לבית הספר" יחשב כנכון בהכרח, משום שאחד החלקים של המשפט חייב להתקיים.

חוק אי-הסתירה מאפשר להראות את שקריותה של טענה כאשר ניתן להסיק ממנה דבר והיפוכו; מכאן שבצירוף לחוק השלישי הנמנע, ניתן להראות את אמיתותה של טענה על ידי הוכחת שקריותה של שלילתה. הוכחה מסוג זה מכונה בלטינית רדוקציו אד אבסורדום (reductio ad absurdum) או הוכחה בדרך השלילה. מכיוון שבהוכחה כזו ההנחה (שלילתה של טענה מסוימת) מובילה לסתירה, ברור שההנחה אינה יכולה להיות אמיתית. ומכאן שהטענה המקורית (אותה שללנו כהנחה להוכחה על דרך השלילה) אמיתית.

כללים אלו ברורים מאליהם אך יש מקרים בהם הרלוונטיות שלהם אינה ברורה. לדוגמה, ישנם משפטים וטענות שאנו משתמשים בהם בחיי היומיום שאין להם בהכרח תשובה מוחלטת של "אמת" או "שקר". ניקח לדוגמה את השאלה מתי הופכת קבוצה של חפצים לערימה. למשל, כמה גרגרי חול דרושים על מנת להפוך לערימה? האם יש מספר מסוים של גרגרים שמעבר לו מדובר בערימה? או ששאלה זו אינה ניתנת למענה חד משמעי, והטענה כי קבוצה של גרגרי חול היא ערימה אינה כפופה לחוק השלישי הנמנע? הלוגיקה הקלאסית נמנעת מלעסוק בטענות מסוג זה, שכן היא מקבלת את החוקים הללו כהנחות יסוד. במאה העשרים התפתח ענף בלוגיקה המכונה אינטואיציוניזם, ובו דוחים את עקרון השלישי הנמנע. בענף אחר וחדש יחסית של הלוגיקה, לוגיקה עמומה (Fuzzy logic), עוסקים בטענות שאינן אמיתיות או שקריות באופן חד-משמעי.

מגבלות הלוגיקה האריסטוטלית

מנקודת המבט של הלוגיקה המודרנית, ללוגיקה של אריסטו מגבלות רבות, והיא אינה מצליחה להביע את שלל היחסים הלוגיים המופיעים בטענות המשמשים אותנו לשם הסקת מסקנות.

בין השאר, אריסטו הכיר אך ורק במבנה של טענות שיש בהן נושא ונשוא (א הוא ב), ולא הכיר בטענות שצורתן צורת התנאי (אם א אז ב). הוא אף סבר שבטיעון תקף חייבת להיות יותר מהנחה אחת, ושהמסקנה חייבת להיות שונה מההנחות. ואולם הגדרתו לטיעון תקף אינה נותנת לנו סיבה לפסול את תקפותו של הטיעון הבא:

הנחה: המלך הוא עירום. מסקנה: המלך הוא עירום.

אין מצב שבו ההנחה אמיתית ואילו המסקנה שקרית, ועל כן הטיעון תקף (אם כי הוא טיעון שאין בו כל עניין).

אחד ההבדלים הברורים בין הלוגיקה האריסטוטלית לבין הלוגיקה החדשה נוגע להנחת הקיום, אשר מתפקדת אצל אריסטו כך שכל מונח, אשר יכול להופיע בטענה, נחשב כאילו אינו ריק, כלומר כאילו קיימים ישים מסוימים השייכים לו. למשל, כאשר הטענה היא "כל בני האדם הם בני תמותה", ניתן על פי הלוגיקה האריסטוטלית להסיק "ישנו בן אדם". בחוק ההמרה השני של אריסטו (ר' לעיל) ישנה הרשאה מפורשת למעבר מן הטענה "כל ב הם א" לטענה "יש א שהוא ב". לעומת זאת, בלוגיקה החדשה, השימוש בכמת האוניברסלי אינו מבטיח שהפרדיקט אשר מצוי בטווח שלו אינו מציין קבוצה ריקה.

אריסטו גם אינו מכיר באופיים הייחודי של יחסים, דהיינו של פרדיקטים המקשרים שני אובייקטים. לפיכך, לא ניתן להביע באמצעות הלוגיקה האריסטוטלית את הקשרים הלוגיים שבין הטענות הבאות:

  1. יוני הוא אביו של רוני
  2. רוני הוא אביו של בוני
  3. יוני הוא אביו של אביו של בוני

לו היינו מנסים להביע את הטענות הללו באמצעים אריסטוטליים, היינו מקבלים את הצורה הלא-תקפה הבאה:

  1. א הוא ב
  2. ב הוא ג
  3. א הוא ד

בעוד שאופן הניתוח של המבנה היסודי של הטענה אצל אריסטו אינה נדחית לגמרי בצורתו הפשוטה של תחשיב הפסוקים המודרני, הרי שהלוגיקה המודרנית, מאז פרגה, מציעה ניתוחים מתוחכמים בהרבה של המבנה הפנימי של הטענה באמצעות תחשיב הפרדיקטים. בעוד שאריסטו סבר כי לטענות יש שלושה חלקים: שני מונחים והאוגד המחבר ביניהם, בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד: האובייקט והפרדיקט המושת עליו. בנוסף, הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כמאפיין את הטענה כולה או את האוגד, אלא כחל על משתנה מסוים מתוך הטענה. באמצעות כך שהכמתים יכולים כעת להופיע כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות כך שניתן כעת לנסח טענות שיש בהם כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת, מאפשרת הלוגיקה החדשה להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעות הניתוח האריסטוטלי. כך למשל הצליחה הלוגיקה המודרנית לתת לראשונה תיאור מדויק של מושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושג זה יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...".

הלוגיקה לאחר אריסטו ועד המאה התשע עשרה

במשך כאלפיים שנה נחשבה הלוגיקה האריסטוטלית כמשהו שאין כל צורך לפתחו או לשנותו, אף שנעשו מעט תוספות מינוריות למטרות דידקטיות. ואולם, כבר בסוף המאה השמונה עשרה, אצל קאנט, ניכרת חוסר נוחות הולכת וגוברת באשר ליכולתה של הלוגיקה האריסטוטלית לתאר את כל אופני המחשבה התקפים. קאנט ביקר את הלוגיקאים הסכולסטים על כך שצורת הטענה היחידה בה הם מטפלים היא טענה של נושא-נשוא (א הוא ב). קאנט הציע להחשיב גם את הצורות של משפט התנאי (אם א אז ב) ושל המשפט הדיסיונקטיבי (א או ב) כצורות יסודיות של טענות.

החל במאה התשע עשרה, התפתחות הלוגיקה הייתה תלויה במידה רבה בעניין שגילו בה מתמטיקאים, אשר ביקשו להבין את אופיין של טענות מתמטיות (למשל משוואות, שצורתן אינה כזו של נושא-נשוא) ואת אופיו של הטיעון המתמטי, דהיינו ההוכחה. במקביל לחקירת המאפיינים הלוגים של המתמטיקה, החל שימוש במתודות מתמטיות בלוגיקה, וההפריה ההדדית בין שני המדעים גברה. מתמטיקאים ופילוסופים כמו ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה מורגן, ויליאם סטנלי ג'בונס, צ'ארלס פירס, וארנסט שרדר, הניחו במחקריהם את היסודות ללוגיקה המודרנית. עבודתם של בול וממשיכיו עומדת ביסוד תחשיב הפסוקים המודרני, וגישתם האלגברית ללוגיקה עומדת ביסוד מדעי המחשב. בול וממשיכיו הציגו לראשונה מונחי יסוד של תורת הקבוצות במסגרת הדיון בלוגיקה, ובאמצעותם ייצגו הסקים אריסטוטלים כמשוואות שהמסקנה היא פתרונן. במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ו אלקסיוס מיינונג חקרו את מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו של האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקיומן האידיאלי של טענות. התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר הישגיו בלוגיקה הושגו במאה התשע-עשרה, הם כמעט לא נודעו עד תחילת המאה העשרים.

הלוגיקה של פרגה

גוטלוב פרגה נחשב הדמות הבולטת ביותר בלוגיקה מאז ימי אריסטו. אף על פי שעבודתו לא הוכרה כמעט בימיו, רעיונותיו קיבלו תהודה בעיקר דרך מי שהושפע ממחקרו וכתביו בעיקרם ג'וזפה פאנו, ברטראנד ראסל ולודוויג ויטגנשטיין.

חידושיו של פרגה

"כתב מושגים", ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ-1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו סבר כי לטענות יש שלושה חלקים: שני מונחים והאוגד המחבר ביניהם ("א' הוא ב'", או "כל א' הוא ב'"), בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. שיטת התיווי הלוגי של פרגה לא התקבלה, גם כאשר רעיונותיו נתקבלו במסורת. למשל, את המשפט "דני הוא חכם", ניתן להצרין[1] בעקבות פרגה כך:

כאשר F מציין את הפרדיקט חכם, ו-a מציין את שמו של האובייקט, דני. שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו מקומיים, המקבלים שני אובייקטים. למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה:

פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות (קוונטיפיקציה). הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כאפיון של הטענה כולה או של האוגד שלה, אלא כפונקציה מסדר גבוה יותר החלה על הפרדיקט ועל המשתנה שלו. למשל, כך מביע פרגה את צורתה של הטענה "כל דבר הוא חכם":

Begriffsschrift Quantifier1.png וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית

וכך הוא מביע את הטענה "יש דבר אחד לפחות שהוא חכם":

Begriffsschrift Quantifier3.png וכך מסמנים פסוק זה בשיטה המודרנית השקולה ל-

באמצעות התחביר החדש של תחשיב הפרדיקטים, הכולל הכימות, יכולים הכמתים להופיע כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות כך ניתן כעת לנסח טענות שיש בהם כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת. טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה החדשה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעים האריסטוטלים. למשל הצליחה הלוגיקה המודרנית לתת לראשונה תיאור פורמלי של מושג האינסוף, שהוביל מאז ימי האסכולה האלאטית לפרדוקסים, ושל מושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...". דוגמה פשוטה יחסית לאופן בו נעשה שימוש כזה בכמתים היא ההצרנה של הטענה "לכל אחד יש חבר", כאשר נציין את היחס בין חברים שוב כפרדיקט דו-מקומי, R:

הפילוסופיה של הלוגיקה של פרגה

בפילוסופיה של הלוגיקה, פרגה מציג את שלושת העקרונות היסודיים שלו בהקדמה לספרו השני, " יסודות האריתמטיקה". העיקרון הראשון מציג את התנגדותו של פרגה לפסיכולוגיזם, דהיינו לעירוב של שיקולים פסיכולוגיים בניתוח הרעיונות הלוגיים היסודיים. הוא סבר כי חוקי הלוגיקה אינם רק חוקי המחשבה, אלא חוקי האמת, ושיש לתכנים לוגיים קיום אובייקטיבי, ולא סובייקטיבי ותלוי במבנה האמפירי של המוח האנושי. מבחינה זו, פרגה היה ריאליסט בנוגע לישויות אידיאליות, כולל הישויות המתמטיות הבסיסיות ביותר - המספרים. העיקרון השני מציג את עקרון הקונטקסט (הרלוונטי גם בפילוסופיה של הלשון) - לפיו מילה מקבלת את משמעותה רק בקונטקסט של השיפוט שהיא משמשת כחלק ממנו. העיקרון השלישי מציג את ההבחנה בין מושג לבין מושא. על פי פרגה, מושגים הם פונקציות, המקבלות את משמעותם רק כאשר ניתן להן אובייקט כערך שלהן. כשלעצמו, המושג הוא בלתי רווי (unsaturated), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות. כך פותר פרגה את בעיית אחדות הטענה שהטרידה אחר כך את ראסל, ומציע, באופן מובלע, תורת טיפוסים פרימיטיבית: מושגים (מסדר ראשון) חלים על אובייקטים בלבד, משום שרק באמצעותם הם נהיים רוויים במשמעות. אולם מכאן עולות גם כמה מסקנות פרדוקסליות. מכיוון שרק בצירוף לשם או למשתנה יש למושג משמעות, המושג אינו יכול להופיע כנושא במשפט. מכאן יוצא, כי אין אפשרות לומר "המושג סוס הוא מושג", משום שכאן המושג סוס מופיע כאובייקט, ולא כמושג. פרגה נאלץ לפיכך לטעון: "המושג סוס אינו מושג", ומכאן נובע (אם כי פרגה אינו אומר זאת מפורשות): "המושג מושג אינו מושג". הטענה הפרדוקסלית חושפת כיצד שלושת העקרונות של פרגה קשורים זה לזה. לאור עקרון הקונטקסט, פרגה אינו מוכן לקבל שלפרדיקט יש משמעות במנותק מן המסגרת הטענתית בה הוא מופיע, ובה הוא רווי בזכות קישורו לאובייקט. לאור התנגדותו לפסיכולוגיזם, פרגה שולל את ההתייחסות אל המושג כאובייקט וסבור שהתייחסות כזו נובעת מתפיסת המושג כתוכן מנטלי אינרטי, ולא כפונקציה. עם זאת יש לפרגה דרכים לטפל במושגים במסגרת לוגיקה מסדר שני. דרך אחת היא על ידי ציון האקסטנציה של המושגים (ranges of values או Wertverläufe), דהיינו הקבוצה של האובייקטים שעבורם המושג מעניק ערך אמיתי. קבוצה זו נתפשת כמושא, והיא יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ההגדרה הלוגית של מושג המספר שפרגה הוא מקורה.

פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם – העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, " חוקי היסוד של האריתמטיקה", ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף נספח לכרך השני של הספר בו הוא מודה כי אין לו פתרון מספק לבעיה, והוא לא הצליח לתקן את עבודתו על מנת למנוע את הפרדוקס. בפרסומים מאוחרים יותר של ראסל ושל ג'ון פון נוימן מוצע פתרון לבעיה באמצעות תורת הטיפוסים (theory of types).