מערכת פאנו | הגדרת פעולות החשבון
English: Peano axioms

הגדרת פעולות החשבון

אקסיומת האינדוקציה מאפשרת להגדיר פונקציות באופן רקורסיבי.

החיבור, שסימנו +, הוא פעולה בינארית המוגדרת באופן הבא:

  • בסיס: לכל x טבעי מתקיים .
  • השלב הרקורסיבי: לכל x,y טבעיים מתקיים .

הכפל, שסימנו , הוא פעולה בינארית המוגדרת באופן הבא:

  • בסיס: לכל x טבעי מתקיים .
  • השלב הרקורסיבי: לכל x,y טבעיים מתקיים .

באמצעות פעולת החיבור ניתן להגדיר את יחס הסדר המוכר על הטבעיים: לכל שני מספרים טבעיים מתקיים אם ורק אם קיים מספר טבעי כך ש-.

מהגדרה זו מקבלים שהעוקב של 0, הוא איבר יחידה ביחס לכפל (לכל x טבעי מתקיים: ), וסימונו המקובל הוא 1. מהגדרת החיבור נובע . לפי הסימון החדש פעולת החיבור מוגדרת לפי ופעולת הכפל מוגדרת .

אפשר להוכיח (באינדוקציה) שהמערכת מקיימת גם את כל האקסיומות המגדירות חוג למחצה.