מערכת פאנו | מודלים
English: Peano axioms

מודלים

ריכארד דדקינד הוכיח שמערכת האקסיומות של פאנו (עם אקסיומת האינדוקציה מסדר שני) היא קטגורית, כלומר: כל שני מודלים של מערכת זו הם איזומורפיים. בניסוח פורמלי יותר: אם ו- הם שני מודלים של מערכת פאנו, אז הפונקציה , המוגדרת (על-פי אקסיומת האינדוקציה של המערכת הראשונה) על ידי , היא איזומורפיזם בין המבנים.

מודלים לא סטנדרטיים

המספרים הטבעיים מהווים כמובן מודל של אקסיומות פאנו. כאשר מחליפים את אקסיומת האינדוקציה המלאה בגרסתה שמסדר ראשון, נכנס לפעולה משפט הקומפקטיות (החל על מערכות שהאקסיומות שלהן מסדר ראשון), שלפיו יש למערכת גם מודלים לא סטנדרטיים. לפי משפט לוונהיים-סקולם יש למערכת לא רק מודל בן-מניה, אלא גם מודלים מכל עוצמה אינסופית שהיא. כאשר מפרשים את תוצאת הקטגוריוּת של דדקינד במערכת מסדר ראשון, ההוכחה מראה שבתוך כל מודל של תורת הקבוצות, יש מודל יחיד לאריתמטיקת פאנו שהוא "הקטן ביותר" - הוא משוכן ברישא של כל מודל אחר של האריתמטיקה. במודל לא סטנדרטי של תורת הקבוצות מתקבל מודל לא סטנדרטי של האריתמטיקה, ומאלה אי-אפשר להימנע באמצעות הוספה של אקסיומות מסדר ראשון.

הגדרת המספרים הטבעיים על-פי האקסיומות של תורת הקבוצות

אפשר לנקוט בשלוש גישות לגבי מהותם של המספרים הטבעיים. הראשונה, להניח שהמספרים הטבעיים הם, כשמם, ישות טבעית שקיומה הוא הנחה אינטואיטיבית ומקובלת. השנייה, להניח, כאקסיומה בסיסית במתמטיקה, שקיימת מערכת פאנו. ושלישית, לקבל את אקסיומות היסוד של תורת הקבוצות (כגון המערכת של צרמלו-פרנקל), ולבנות מאלו גם מערכת פאנו. גישה זו, השלישית, היא זו שהציעו גוטלוב פרגה וברטראנד ראסל, והיא המקובלת היום על רוב המתמטיקאים. כך בונים מערכת פאנו:

  • נגדיר את המספר 0 כקבוצה הריקה .
  • לכל קבוצה A נגדיר את העוקב של A על ידי:

בדרך זו נקבל:

וכן הלאה.

עתה, נגדיר קבוצה אינדוקטיבית: קבוצה אינדוקטיבית היא קבוצה המכילה את 0 (הקבוצה הריקה) וכן, עבור כל איבר בקבוצה, היא מכילה את העוקב לו. אזי, קבוצת המספרים הטבעיים מוגדרת כקבוצה האינדוקטיבית הקטנה ביותר (המתקבלת מחיתוך של כל הקבוצות האינדוקטיביות).

כעת ניתן להגדיר על הטבעיים סדר חלקי פשוט באמצעות הכלה (כהגדרתה בתורת הקבוצות) באופן הבא: לכל x,y טבעיים נגדיר אם ורק אם . לפי עקרון הסדר הטוב זהו סדר טוב.